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Allgemeinmedizin 6. Juni 2008

Fußball mit Geigerzähler

Schwungkraft, Masse und Flugkurve. Das sind jene Begriffe, die Fußball und Physik verbinden. Prof. Dr. Metin Tolan von der Technischen Universität Dortmund kennt sich in beiden Metiers hervorragend aus und weiß sie spannend zu verknüpfen. In seinem Internetblog Querkraft erklärt Tolan, wieso Fußbälle und Kanonenkugeln anders fliegen oder wie spielentscheidend eine Rote Karte tatsächlich ist. Diesmal schreibt der Physikprofessor, warum eine Fußballmannschaft irgendwie einer radioaktiven Quelle gleicht.

 Grafik

6:3 verlor Werder Bremen in der letzten Saison gegen den Deutschen Meister 2007, VfB Stuttgart. Dies war nicht gerade förderlich für die Spannung in der vergangenen Meisterschaft, aber immerhin sahen die Zuschauer ein sehr abwechslungsreiches Spiel. Trotzdem kommen neun Tore in einem Spiel recht selten vor. Doch wie ungewöhnlich ist das nun wirklich?
Zunächst einmal muss man einen Blick auf die Verteilung der Tore in der Bundesliga werfen. Die Graphik Statistik Gefallene Tore für die erste Bundesliga zeigt die Zahl der Spiele der Fußball-Bundesliga, bei denen insgesamt k Tore gefallen sind, als Funktion dieser Gesamtzahl k der Treffer:

Neun Tore bei drei Promille

Die Abbildung ist folgendermaßen zu interpretieren: Man kann ablesen, dass es bisher etwa 2.550 Spiele mit k=3 Toren in der Bundesliga gab. Das sind alle Spiele mit den Endergebnissen 3:0, 2:1, 1:2, und 0:3. Es gibt auch Spiele mit keinem Tor, nämlich die 0:0-Ergebnisse. Aus der Graphik kann hier für k=0 eine Zahl von etwa 820 torlosen Spielen abgelesen werden.
Offensichtlich gibt es am meisten Spiele mit zwei Toren, da Endergebnisse wie 2:0, 0:2 und 1:1 häufig vorkommen. Das gilt auch noch für vier Tore, während die Kurve dann für größere Toranzahlen k schnell abfällt. Zwar gibt es viele Möglichkeiten für Endergebnisse, wenn neun Tore fallen, nämlich 9:0, 8:1, 7:2, 6:3, 5:4 und die entsprechend umgekehrten Resultate, doch die Wahrscheinlichkeit für eine so hohe Trefferanzahl ist beim Fußball äußerst gering. Mit neun Toren sind bisher 43 Spiele ausgegangen, was etwa drei Promille aller Spiele, die bisher in der deutschen Bundesliga stattfanden, entspricht.
Als Physiker erinnert einen die Verteilung der Anzahl der Spiele mit jeweils k Toren, wie sie in der Abbildung zu sehen ist, sofort an eine sogenannte „Poisson-Verteilung“, die etwa auch den radioaktiven Zerfall bestimmt. Ein Atomkern zerfällt mit einer Wahrscheinlichkeit, die ebenfalls durch eine Poisson-Verteilung gegeben ist. Eine solche Verteilung beginnt immer bei einem bestimmten Wert, läuft dann durch ein Maximum und fällt für große Werte stark ab. Dabei liegt das Maximum ungefähr bei der mittleren Anzahl a der Tore. In der Fußball-Bundesliga fallen im Durchschnitt drei Tore, also ist a=3. Für die Poisson-Verteilung gilt: pa(k)=ak*e-a/k!
Diese Formel gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit pa(k) ist, dass ein Spiel mit einer Gesamtzahl von k Toren endet, wenn im Durchschnitt a Tore pro Spiel fallen. Dabei ist e=2.7182818.... – die sogenannte Euler’sche Zahl und k! (sprich k Fakultät) ist eine Kurzschreibweise k!=1*2*....*(k-1)*k.
Wenn diese Wahrscheinlichkeit pa(k) mit der Gesamtzahl aller bisher stattgefundenen Spiele in der Fußball-Bundesliga multipliziert wird, dann ergibt sich ebenfalls eine Verteilung der Ergebnisse nach den gefallenen Toren k pro Spiel. In der Graphik Anpassung der Ergebnishäufigkeit ist diese mit der Poisson-Verteilung theoretisch berechnete Anzahl der Spiele für die mittlere Toranzahl a=3 berechnet und als rote Säulen dargestellt worden.

Strahlende Torschützen

Man erkennt, dass die Poisson-Verteilung die Verteilungskurve der Anzahl der Spiele mit jeweils k Toren recht gut wiedergibt. Natürlich ist die Übereinstimmung nicht perfekt. So gibt es offensichtlich mehr 0:0 Ergebnisse in der Bundesliga, als es die Poisson-Kurve prognostizieren würde. Dafür gibt es in der Theorie deutlich mehr Ergebnisse mit einem Tor, also 1:0- und 0:1-Resultate, als bisher in der Realität. Da über 12.000 Spiele zu der Statistik beitragen, sind diese Abweichungen schon signifikant. Aber dennoch: Die Poisson-Kurve erklärt überraschend gut die Zahl der Spiele, die mit einer bestimmten Anzahl geschossener Tore endet. Eine Fußball-Mannschaft in der Bundesliga schießt also nach derselben Statistik Tore, nach der ein radioaktiver Atomkern zerfällt – wer hätte das gedacht! Während allerdings eine radioaktive Quelle Strahlung emittiert, „emittiert“ eine Fußball-Mannschaft sozusagen Tore. Es ist wichtig zu bemerken, dass in der Theorie diese „Emission“ von Toren „unkorreliert“ ist, das heißt, ein Tor beeinflusst das Fallen des nächsten Tores nicht. Das ist in der Realität allerdings nicht unbedingt gewährleistet. Wie man mit der Poisson-Verteilung der Tore rechnet, zeigt die die Abbildung Rechenbeispiel.

Errechnen der Wahrscheinlichkeit

Nun kann auch theoretisch berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass in einem Spiel der Fußball-Bundesliga neun Tore fallen. Mit dem Mittelwert a=3 ergibt sich:
p3(9)=39*e-3/9!=0,0027=2,7 Promille. Dieser Wert ist gar nicht so schlecht, denn er stimmt mit den vorher angegebenen drei Promille, die sich durch Auszählen der tatsächlichen Ergebnisse ergeben, recht gut überein. Drei Promille aller Spiele heißt, dass in etwa einem Spiel aus 300 insgesamt neun Tore fallen sollten. Da eine Bundesliga-Saison genau 306 Spiele umfasst, sollte also ein Spiel pro Saison, in dem neun Tore fallen, durchaus zu erwarten sein. Dieses Spiel war eben das eingangs erwähnte Werder Bremen gegen VfB Stuttgart.
Es kann nun auch berechnet werden, wann das nächste Mal ein 6:3 zu erwarten ist. In der Bundesliga gab es bisher zehn Mal dieses Ergebnis, was 0,74 Promille aller Spiele entspricht. Können wir dies auch mit unserer Poisson-Verteilung berechnen? Ja! Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich einfach zu:
p1,5(6)*p1,5(3)=(1,56* e-1,5/6!)*(1,53*e-1,5/3!)=0,00044= 0,44 Promille.
Hier ist zu beachten, dass diesmal die Wahrscheinlichkeit für jede Mannschaft einzeln ausgerechnet wurde, die dann im Durchschnitt nur 1,5 Tore schießt. Dieses Ergebnis ist auch noch mit zwei zu multiplizieren, da sowohl ein 6:3 als auch ein 3:6 in der Statistik mitgezählt wird. In der Theorie ergibt sich also dann der Wert 0,88 Promille für das Auftreten eines 6:3-Ergebnisses in der Fußball-Bundesliga, was wieder recht gut mit dem tatsächlichen Wert von 0,74 Promille übereinstimmt.

Das nächste Mal 2012

Dies bedeutet, dass in einem Spiel aus ungefähr 1.300 ein Ergebnis von 6:3 zu erwarten ist. Bei 306 Spielen pro Saison können wir also diesen Spielausgang im Durchschnitt nur alle vier Jahre erwarten! In der Realität gibt es da sicher eine größere Streuung. Diese Beobachtung erlaubt es, Ergebnishäufigkeiten beim Fußball nicht nur durch Auszählen in Datenbanken zu bestimmen, sondern auch mit relativ einfachen Formeln zu berechnen.

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Prof. Dr. Metin Tolan hat den Lehrstuhl für „Experimentelle Physik I“ an der Technischen Universität Dortmund. Einer seiner Vorträge über die physikalische Realität in James-Bond-Filmen wurde vom Norddeutschen Rundfunk (NDR) gefilmt und 2006 gesendet, ein Buch zu dem Thema ist in Planung.

Linktipp: Querkraft
www.wissenslogs.de/wblogs/blog/querkraft

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